数学学习的九个境界，你能达到第几境？小平邦彦的故事给我们的启发！

本公众号大约有300多篇优质讲座课件，可关注公众号后，查看历史消息

推荐阅读：点击下方相应标题即可跳转阅读全文

数学[英语：mathematics，源自古希腊语μθημα（máthēma）；经常被缩写为math或maths]，是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科。

数学是人类对事物的抽象结构与模式进行严格描述的一种通用手段，可以应用于现实世界的任何问题，所有的数学对象本质上都是人为定义的。从这个意义上，数学属于形式科学，而不是自然科学。不同的数学家和哲学家对数学的确切范围和定义有一系列的看法。

在人类历史发展和社会生活中，数学发挥着不可替代的作用，同时也是学习和研究现代科学技术必不可少的基本工具。

数学的学习和应用有九个境界，对照看看你能达到第几境界？

第一个境界是能看懂

什么是能看懂？能看懂，就是能够懂得数学定义，定理，公式的来龙去脉。一看到这个定理、公式，脑子里面盘旋的一些问题，我们一一找到答案，我们要从内心里面去回答，那么找到的答案越多，做出来的问答越多，我们就懂得的越多，这就是能看懂的含义。

第二个境界是能记住

往往是这一步，使得很多人难以入门，一旦我们做到这一点的话，我们马上就迈上了第一个境界，迈上第一个境界之后，能记住会解题，只要我们把那些最基本的东西给做出来，做一遍，亲自动手去算一遍，那么我们马上就会跨过第二个、第三个境界。

第三个境界是会解题

到了第三个境界，考一个及格的分数就不成问题了。有不少人把高数的考研目标定为90分，实际上做完刚才所说的这些，每一章，每一节都这么去做的话，考90分根本不成问题。

第四个境界是熟练解题

在解题的过程中不断地进行这样的有意识的思维操作的训练，那么熟练解题也为之不远了。

第五个境界是会梳理

什么是会梳理？刚才已经给大家分享了数学的基本结构是什么？每一章都在重复同样的基本结构，把那些知识点都给汇总到这个知识结构里面，就是会梳理。包括我们每一章都在用什么样的运算技巧？大家心里面有没有数，这一章我们会用到什么，什么样的运算技巧，能不能1、2、3、4、5、6、7、8，这么列出来，一是一、二是二的列出来，如果这么做了，那肯定是会梳理了。

第六个境界是融会贯通

什么是融会贯通？比如导数，是从什么问题引入的？导数的定义，它的严格的定义是什么？它对应的几何直观是什么？导数怎么推出导数的四则运算法则？导数的定义和运算法则又有什么用？能解什么样的题目？如果我们一步步这么做下来的话，那就是融会贯通了，对这一章，这一节融汇贯通了。

第七个境界是把握数学思维

什么是把握数学思维？所谓的数学思维就是一个一个的基本的思维操作，像加、减、乘、除法，各种类型的加、减、乘、除法，像加一项、减一项，像它的定义，为什么会有这样的定义？它的问题是什么？这个定义能解决什么问题？当我们提这些问题，去找它的答案的时候，按照这样的思维去训练的时候，我们就把握数学思维了。

第八个境界是体验学习的乐趣

一旦我们做到前面这几步的话，那数学的学习自然就有乐趣，设想一下，我们面对一块黑板或者一张白纸，我们从导数的定义开始做起，一下就把这一套全都写下来了，不用看参考书，从导数的定义一直推出这个导数的运算法则，解出一些基本函数的导数，然后解出更复杂函数的导数。这里面能没有乐趣吗？当然有乐趣了。而且我们回答了心中的一个又一个的问题，而这些问题呢，它不但可以提高成绩，还可以跟其他人来交流，给其他人带来启发。

第九个境界是能够忘我的学习

达到第八个境界就很容易到达第九个境界了，就是乐此不疲，我们称之为心流。我们这样子学习三个小时的数学，感觉时间才过了半个小时一样。

四、五、六、这个境界迈上去，那么我们数学考个优秀的成绩，例如高考满分150分，考个120分，就不是问题了，如果我们到达了这七、八、九，这三个境界，那么考更高的成绩，考130分，140多分，那就是完全有可能的了，因为你都觉得数学学习都不是负担了，不是障碍了，不是痛苦而是享受了，解道难题会带来巨大的乐趣啊。

读不懂数学怎么办？

如果我们到了现在还觉得数学不太容易懂，数学书看起来很头疼，看看下面这个例子。

小平邦彦的故事

小平邦彦是亚洲第一获得菲尔兹奖的数学家，小平邦彦经常说自己天资不好，但是他从中学开始，就是那种做事情一丝不苟，全身心投入的人。他回忆自己第一次学习范德瓦尔登的《代数学》，几乎学不懂；然后就开始抄书，一直到抄懂为止。对于这样的一个大数学家，他在数学学习的初期，也遇到了巨大的困难，看书看不懂。所以我们经常说，看书看得很吃力，很费劲，这实际上本质上根本就不是个问题。那这个故事给你什么启发呢？

有人说“勤能补拙”，没错，我也是这么想的；还有的说“贵在坚持”，也没错，这也是这个故事所传达出的一个重要信息贵在坚持；有的也可能是说“不懂就要抄书”，至少抄书是个方法。还有人说“理解为王”，这也是这个故事讲的一个非常重要的一点，从几乎学不懂，然后最后到懂为止。

就理解很重要，我们对一个我们不理解的东西，怎么能心生乐趣呢？学问的乐趣就在于解惑，不断的解惑，这个解惑过程中产生的乐趣，如果我们一直不懂它，自己都认为不懂，那这个乐趣很难产生啊。

小平邦彦的故事给我们的启发

首先抄书能抄出数学家吗？如果抄书能抄出数学家的话，那满大街都是数学家了。他肯定是带着问题抄书，边抄边解答，直到懂为止，有了足够多的解答，就自然就懂了。他心里面的困惑都一一找到了答案，有一些是书上提示的答案，有一些是他根据书上的提示自己独立推导出来的答案，想出来的答案，那么就自然懂。

第二是，我们学习数学，必定需要扎实的基本功，这个基本功是什么？就是刚才讲的那个基本的思维技能，但可惜的是许多人不曾掌握这个思维技能，甚至都没有意识到，我们在做数学的过程中，在不断进行同样的思维操作，那个思维操作就是：基本的问答，不断在做问答，不断地在做加、减、乘、除法，不断地在从问题到定义，到定义的性质，到运算法则，到定理，到定理的应用去解题目，不断地在进行这样的或大或小的思维操作，这些思维操作，就是数学思维的基本的技能，也就是我们学数学的基本功。

第三点是，任何技能的学习，任何技能的掌握，必定是先慢后快。小平邦彦去抄书，但数学的文献浩如烟海，经典著作多得不得了，他如果都是这么慢慢的抄的话，那得抄到何年何月？正因为他抄的过程中，他不断地去熟悉和训练自己的思维技能，任何数学分支都有同样的结构，一旦熟悉这个技能，那就熟能生巧了。

反之，一旦我们前面的东西没掌握，认为它很简单，认为它很显然，认为它不值得一做，很可能在遇到那个考研题目的时候，我们都没有解题思路，甚至了解题思路，我们做不对，做不出来，

还有几个启发

第一，不要纠结于有没有天资，除非努力过。即便是小平邦彦，他学数学的初期，仍然遇到很大的困难，我们在学高数的过程中，遇到困难的时候，看不懂的时候，题目做不出来的时候，经常会自我怀疑，是不是我数学真的就不行啊？我没有数学思维啊？

不是，不是那样子的。认知神经科学的研究表明，我们天生下来就有数学思维。严格的论证，之后跟大家来分享一下。不要再纠结这个问题了，除非我们努力过。连这样的数学家都做过这样的努力，那我们，我们问问自己，我们有没有做过这个与之相，相当的这个努力。

第二，“如果世界上有奇迹，那只不过是努力的代名词”，我们能解一道题目，中等难度的题目，只不过是由那些基本的知识点，那些基本的思维操作所导出来的。一道更难的题目也是一样的，我们解了一道很难的题目，会感到骄傲，感到是个奇迹，那只不过是我们以前以往点点滴滴的努力累积出来的，就是像积分一样，一点一点的积累出来的。

第三，没有绝对懂与不懂，关键是我们今天有没有懂得更多。今天懂了多少，今天究竟懂了什么？今天找到了哪些问题的答案，这是关键。包括我们在做一道题目的时候，做错了的话，有什么收获？做对了，也要问自己究竟收获了多少？一是一，二是二，三是三，我们有没有这么去做？这样做非常关键。

 THE END 

 ♦ 欢迎分享到朋友圈哦 ♦ 

更多单墫教授手稿内容，请查看历史消息。

重磅推荐另一个微信公众号：妙解之慧，里面有500多篇优质讲座，视频，一轮二轮三轮复习讲座，各个专题整理等，暑假教师，学生学习充电的好地方，长按并识别下方图片中的二维码，即可关注，然后查看历史消息即可阅读相关文章。

1

 往期精选 

部分文章推荐阅读，点相应标题即可跳转阅读全文，更多优质文章，可关注《妙解之慧》后，查看历史消息。

往期文章快速查找指南，关注公众号后，点击最上方搜索，输入关键字，即可阅读相关文章。

目前设有初高中教师交流群，群里不定期公益分享一些优质的学习资源，不作任何利益，想要进群交流的朋友可，长按并识别文末二维码，添加微信，备注地区身份，通过验证后，回复需要进的群。

一点数学学习方法：

水有源题有根，茫茫题海寻根悟法方是岸，若将形形色色的试题分门别类，剖析其相似，相关性，同源性。探索一题多解，尝试一题多变，感悟多题共法，多做一些；基础和能力，运算和思维都好的妙题，再从解法探究，一般推广，类比延拓三个方面展开，深度研究，意在学会分析题意，转化问题，追根溯源，触类旁通，从静态的文本俩都想到动态的思维活动，把数学冰冷的美丽里，变成火热的思考，就能举一反三，跳出题海，精学一题，妙解一类，固化于型，内化于心，达到事半功倍，融会贯通，高效学习的目的！
写给学生：成功的路上没有捷径，需脚踏实地，一天进步一点，成在坚持，难再坚持，贵在坚持，自己不要放弃自己就行。

添加好友，相识是缘，感恩遇见，添加时，请备注地区身份。